Uppsala universitet
Hoppa över länkar
In English

Linné on line arrow Matematik under Linnés tid

Några av matematikens pionjärer

På bilden syns handskrift av Isaac Newton samt från vänster Per Elvius, Harald Vallerius, Samuel Klingenstierna och uppe till höger Gottfried Wilhelm von Leibniz.

Matematik under Linnés tid

Under 1600- och 1700-talen utvecklades ny matematik som kom att revolutionera vår syn på världen. Linné hade troligen ingen kunskap om denna matematik men hans logiska indelning av växterna, djuren och stenarna i en systematisk ordning kommer i en tid då andra teoribildare sökte skapa ordning inom bl.a. astronomin, mekaniken och optiken. Genom att kunna uttrycka geometriska kurvor med algebraiska uttryck bestämde matematiker planetbanor, beräknade kurvlängder och areor, samt visade teoretiskt hur en perfekt lins kunde tillverkas. Grundarna av denna nya matematik är många men 1600-talets främste är Newton och Leibniz. De utvecklade infinitesimalkalkylen, en teori om hur man kan räkna med oändligt små storheter, s.k. infinitesimaler.

Den förste och den skickligaste utövaren av infinitesimalkalkylen i Sverige under 1700-talet var Samuel Klingenstierna.

 

Författad av: Staffan Rodhe

Matematik då och nu

I 1700-talets början var det ännu en kamp mellan den gamla och den nya matematiken. Det fanns en algebra, det fanns geometri och aritmetik. Många matematiker trodde på allvar att de klassiskt grekiska matematikerna hade hemlighållit sin kunskap om algebran, dvs att de med algebra hade visat de geometriska satser som vi finner i Euklides Elementa, den viktigaste av de klassiska skrifterna. Den algebra vi känner idag kom till på 1600-talet genom Descartes. Det fanns föregångare, speciellt under 1500-talet, men i Grekland på 300-talet f.Kr. fanns ingen algebra.

Då matematiken undervisades på universitet, bl.a. i Uppsala, omkring 1700 innehöll den mycket mer än algebra, geometri och aritmetik. Den innehöll tillämpningar om befästningskonst, astronomi, optik, mekanik, geografi och t.o.m. fyrverkeriteknik. Däremot var det ännu mycket sällsynt att Newton och Leibniz’ teorier lärdes ut. Man förstod dem ännu inte.

Cursus seu mundus

Cursus seu mundus mathematicus – kursen eller den universella matematiken. Det var fyra lika stora läroböcker med totalt flera tusen sidor. Den användes bl.a. i Uppsala i början av 1700-talet. (För att se storleken, lägg märke till tändstickan som ligger ovanpå boken.) Det var bara professorn som hade boken. Studenterna fick skriva av.
Foto: Staffan Rodhe. Ur Institut Mittag-Lefflers samlingar.

Euklides

Man tror att Euklides levde ca 300 f.Kr. i Alexandria – under den tiden vetenskapens centrum med sitt fantastiska bibliotek. Euklides mest berömda skrift Elementa innehåller nästan all den matematik som de grekiska vetenskapsmännen dittills hade funnit på. En stor del av Elementa handlar om geometri.

Euklidisk geometri är geometri på planet. Här gäller att vinkelsumman i en triangel är 180° och att en linje kan dras ut hur långt som helst utan att möta sig själv.

Icke-euklidisk geometri är geometri på andra ytor än planet. En triangel ritad på en sfär har t.ex. större vinkelsumma än 180°. En linje som ritas tillräckligt långt möter sig själv. På sfären är alltså linjen en cirkel. Teorier för den icke-euklidiska geometrin utvecklades på 1800-talet av bl.a Lobachevsky och Bolyai.

En sfär och en kvadrat

Triangel på sfären (icke-euklidisk geometri) och på planet (euklidisk geometri).

Descartes

René Descartes

René Descartes (1596–1650)

René Descartes (1596–1650), filosof och matematiker, född i La Haye i Frankrike. Vid åtta års ålder började han studera bl.a. logik, fysik, metafysik och matematik i en jesuitskola. Han deltog som soldat i det trettioåriga kriget i Europa. En vinternatt 1619 sägs han i en dröm ha fått en uppenbarelse om en metod att skaffa sig absolut säker och fullständig kunskap om naturen. Teorin skulle byggas upp enligt samma grundvalar som Euklides Elementa, med definitioner, axiom, satser och bevis. Den första satsen löd ”Je pense, donc je suis” (Jag tänker alltså existerar jag). Utgående från detta kunde en följd av nya sanningar föras fram. Metoden publicerades i Discours de la Méthode 1637. Boken innehåller också delar om optik, om meteorer och om matematik. År 1649 kallades Descartes till Sverige av Drottning Kristina som privatlärare i filosofi. Året därpå dog han i lunginflammation i Stockholm.

Discours de la Méthode 1637

Discours de la Méthode 1637

Newton

Isaac Newton

Isaac Newton (1642–1727)

Isaac Newton (1642–1727), fysiker, matematiker, alkemist (försökte ”göra” guld), född i Woolsthorpe, England. Professor i matematik i Cambridge, senare chef för Myntverket (”Master of the Mint”) i London, en tjänst han innehade fram till slutet av sitt liv. Hans infinitesimalkalkyl kallas fluxionsteorin. Den framställdes under peståren 1665–1666, då universitetet var stängt, men teorin kom inte i tryck förrän 1704 som ett tillägg till en bok om optik. Hans mest kända verk Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (”Naturfilosofins matematiska principer”), vanligen kallad Principia, utkom 1687. Den handlar om kroppars rörelser och hur vårt universum är uppbyggt.

Principia

Principia 1687

Leibniz

Gottfried Wilhelm von Leibniz

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716)

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716), filosof och matematiker, född i Leipzig, dog i Hannover, där de flesta av hans kvarlämnade manuskript finns. Han var med om att starta den mycket viktiga tidskriften Acta Eruditorum (”De lärdes handlingar”) 1682. I den presenterade han 1684 sin teori om infinitesimaler, differentialkalkylen.

Acta Eruditorum
Acta Eruditorum

Bröderna Bernoulli

Jacob BernoulliJohann Bernoulli

Jacob Bernoulli och Johann Bernoulli

Det var inte många som förstod Newton och Leibniz' idéer om infinitesimaler. För att andra skulle acceptera hans teorier skrev Newton sin Principia (1687) medvetet utan att använda fluxionsteori. Istället försökte han, så mycket som möjligt, förklara teorin med den gamla matematiken med Euklides Elementa och Arkimedes mekanik som grund. Men Newton påstod att allt han skrivit också var bekräftat med hjälp av fluxionsteorin.

Bröderna Jacob Bernoulli (1654–1705) och Johann Bernoulli (1667–1748)  i Basel, Schweiz, var bland de första uttolkarna av Leibniz differentialkalkyl. De var båda kritiska till Newtons teorier och ansåg att fluxionsteorin var ett plagiat av Leibniz ursprungliga teorier. De lade ner ett stort arbete på att tolka Principias satser med hjälp av differentialkalkylen och på så sätt också finna fel i dessa. Deras kritik, speciellt Johanns, ledde till att Newton gjorde viktiga korrigeringar av Principias andra upplaga 1714. Under hela sin levnad kunde inte Johann B acceptera teorin, som Newton bevisat, att jorden och planeterna roterar i elliptiska banor runt solen, en av Keplers lagar. Han försökte istället bevisa den s.k. virvelteorin, som Descartes hade framfört, vilken beskriver hur jorden, solen och planeterna rör sig i spiraler om varandra.

Virvelteorin

Virvelteorin beskriven av Fontenelle i Entretiens sur La Pluralite des Mondes (först publicerad 1686).

Trots denna misstro mot Newton fick bröderna Bernoulli ett enormt inflytande på utvecklingen av den nya matematiken i början av 1700-talet. Exempelvis grundlade Jacob B sannolikhetsläran med den postumt utgivna Ars Conjectandi (Konsten att gissa; 1713) och Johann B inledde en ny inriktning inom matematiken, variationskalkylen. Båda gjorde också viktiga insatser för att utveckla  integralkalkylen, i grunden en teori att bestämma areor av områden begränsade av kurvor, och finna andra, speciellt fysikaliska, tillämpningar av den.

Ars Conjectandi (Konsten att gissa; 1713)

I denna bok presenteras för första gången De stora talens lag, en sats som säger att även en händelse med liten sannolikhet kommer att inträffa efter 'tillräckligt' många försök.

Under sex månader 1728–1729 besökte Samuel Klingenstierna Basel. Johann Bernoulli var då hans lärare. Det finns manuskript i vilka vi kan se att Bernoulli har rättat Klingenstiernas text.

Manuskript – del 1 Manuskript – del 2 Manuskript – del 3

Manuskriptet beskriver en kropps rörelse i en vätska under speciella förutsättningar. Vi kan se hur Johann Bernoulli har gjort rättelser i Klingenstiernas text, speciellt på den andra och tredje sidan.

Leonhard Euler – en blind som ledde matematiken

Leonhard Euler

Leonhard Euler

Euler är årsbarn med Carl von Linné. Han föddes i Basel 1707 och dog i St Petersburg 1783. Hans lärare var Johann Bernoulli. Han påbörjade en tjänst vid den nyöppnade vetenskapsakademien i St Petersburg 1727. Åren 1741–1766 verkade han vid Berlins Vetenskapsakademi och återvände därefter till St Petersburg där han är begravd. Trots att han i slutet av 1730-talet blev blind på ett öga och 1766 blev totalt blind är han 1700-talets absolut mest framstående matematiker och producerade en enorm mängd matematiska skrifter, i slutet av sitt liv med bl.a. den finske matematikern Anders Lexell (1740–1784) som sekreterare.

Euler skapade ordning på differential- och integralkalkylen, utvecklade talteorin, införde symboler som f(x), e, π, och i. Han utvecklade teorin för lösning av differentialekvationer och bidrog därmed till lösningar av många tillämpade problem inom fysiken.

Eulers Introduktion till infinitesimalkalkylen

Eulers Introduktion till infinitesimalkalkylen. Den inleds med en genomgång av funktionsbegreppet som är snarlikt det vi har idag.

 

Gå vidare till ”Det oändligt lilla”

BOKMÄRKEN